哈夫曼树的介绍
定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。
构造一棵哈夫曼树
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：
- 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
- 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
- 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
- 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。
- 第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。
- 第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将”树5”和”树6”从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。
- 第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将”树7”和”树8”从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。
- 第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将”树11”和”树15”从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。
- 第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将”树15”和”树26”从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。
此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树
实现
哈夫曼树的节点类
/**
* Huffman树节点类
*
* @author skywang
* @date 2014/03/25
*/
#ifndef _HUFFMAN_NODE_HPP_
#define _HUFFMAN_NODE_HPP_
template <class T>
class HuffmanNode{
public:
T key; // 权值
HuffmanNode *left; // 左孩子
HuffmanNode *right; // 右孩子
HuffmanNode *parent;// 父结点
HuffmanNode(){}
HuffmanNode(T value, HuffmanNode *l, HuffmanNode *r, HuffmanNode *p):
key(value),left(l),right(r),parent(p) {}
};
#endif
最小堆
/**
* 最小堆：为Huffman树服务的。
*
* @author skywang
* @date 2014/03/25
*/
#ifndef _HUFFMAN_MIN_HEAP_HPP_
#define _HUFFMAN_MIN_HEAP_HPP_
#include "HuffmanNode.h"
template <class T>
class MinHeap {
private:
HuffmanNode<T> *mHeap; // 最小堆的数组
int mCapacity; // 总的容量
int mSize; // 当前有效数据的数量
private:
// 上调算法
void filterUp(int start);
// 下调算法
void filterDown(int start, int end);
// 交换两个HuffmanNode节点的全部数据，i和j是节点索引。
void swapNode(int i, int j);
public:
MinHeap();
~MinHeap();
// 将node的全部数据拷贝给"最小堆的指定节点"
int copyOf(HuffmanNode<T> *node);
// 获取最小节点
HuffmanNode<T>* dumpFromMinimum();
// 创建最小堆
void create(T a[], int size);
// 销毁最小堆
void destroy();
};
template <class T>
MinHeap<T>::MinHeap()
{
}
template <class T>
MinHeap<T>::~MinHeap()
{
destroy();
}
/*
* 最小堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
template <class T>
void MinHeap<T>::filterDown(int start, int end)
{
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置
HuffmanNode<T> tmp = mHeap[c]; // 当前(current)节点
while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && mHeap[l].key > mHeap[l+1].key)
l++; // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]
if(tmp.key <= mHeap[l].key)
break; //调整结束
else
{
mHeap[c] = mHeap[l];
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap[c] = tmp;
}
/*
* 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
* start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
template <class T>
void MinHeap<T>::filterUp(int start)
{
int c = start; // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2; // 父(parent)结点的位置
HuffmanNode<T> tmp = mHeap[c]; // 当前节点(current)
while(c > 0)
{
if(mHeap[p].key <= tmp.key)
break;
else
{
mHeap[c] = mHeap[p];
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap[c] = tmp;
}
/*
* 将node的全部数据拷贝给"最小堆的指定节点"
*
* 返回值：
* 0，表示成功
* -1，表示失败
*/
template <class T>
int MinHeap<T>::copyOf(HuffmanNode<T> *node)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(mSize == mCapacity)
return -1;
mHeap[mSize] = *node; // 将"node的数据"全部复制到"数组末尾"
filterUp(mSize); // 向上调整堆
mSize++; // 堆的实际容量+1
return 0;
}
/*
* 交换两个HuffmanNode节点的全部数据
*/
template <class T>
void MinHeap<T>::swapNode(int i, int j)
{
HuffmanNode<T> tmp = mHeap[i];
mHeap[i] = mHeap[j];
mHeap[j] = tmp;
}
/*
* 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。
* 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。
*
* 返回值：
* 失败返回NULL。
*/
template <class T>
HuffmanNode<T>* MinHeap<T>::dumpFromMinimum()
{
// 如果"堆"已空，则返回
if(mSize == 0)
return NULL;
HuffmanNode<T> *node;
if((node = new HuffmanNode<T>()) == NULL)
return NULL;
// 将"最小节点的全部数据"复制给node
*node = mHeap[0];
swapNode(0, mSize-1); // 交换"最小节点"和"最后一个节点"
filterDown(0, mSize-2); // 将mHeap[0...mSize-2]构造成一个最小堆
mSize--;
return node;
}
/*
* 创建最小堆
*
* 参数说明：
* a -- 数据所在的数组
* size -- 数组大小
*/
template <class T>
void MinHeap<T>::create(T a[], int size)
{
int i;
// 创建最小堆所对应的数组
mSize = size;
mCapacity = size;
mHeap = new HuffmanNode<T>[size];
// 初始化数组
for(i=0; i<size; i++)
{
mHeap[i].key = a[i];
mHeap[i].parent = mHeap[i].left = mHeap[i].right = NULL;
}
// 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
for (i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
filterDown(i, size-1);
}
// 销毁最小堆
template <class T>
void MinHeap<T>::destroy()
{
mSize = 0;
mCapacity = 0;
delete[] mHeap;
mHeap = NULL;
}
#endif
哈夫曼树
/**
* C++实现的Huffman树。
*
* 构造Huffman树时，使用到了最小堆。
*
* @author skywang
* @date 2014/03/25
*/
#ifndef _HUFFMAN_TREE_HPP_
#define _HUFFMAN_TREE_HPP_
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include "HuffmanNode.h"
#include "MinHeap.h"
using namespace std;
template <class T>
class Huffman {
private:
HuffmanNode<T> *mRoot; // 根结点
public:
Huffman();
~Huffman();
// 前序遍历"Huffman树"
void preOrder();
// 中序遍历"Huffman树"
void inOrder();
// 后序遍历"Huffman树"
void postOrder();
// 创建Huffman树
void create(T a[], int size);
// 销毁Huffman树
void destroy();
// 打印Huffman树
void print();
private:
// 前序遍历"Huffman树"
void preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
// 中序遍历"Huffman树"
void inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
// 后序遍历"Huffman树"
void postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
// 销毁Huffman树
void destroy(HuffmanNode<T>* &tree);
// 打印Huffman树
void print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction);
};
/*
* 构造函数
*/
template <class T>
Huffman<T>::Huffman():mRoot(NULL)
{
}
/*
* 析构函数
*/
template <class T>
Huffman<T>::~Huffman()
{
destroy();
}
/*
* 前序遍历"Huffman树"
*/
template <class T>
void Huffman<T>::preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
cout<< tree->key << " " ;
preOrder(tree->left);
preOrder(tree->right);
}
}
template <class T>
void Huffman<T>::preOrder()
{
preOrder(mRoot);
}
/*
* 中序遍历"Huffman树"
*/
template <class T>
void Huffman<T>::inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
inOrder(tree->left);
cout<< tree->key << " " ;
inOrder(tree->right);
}
}
template <class T>
void Huffman<T>::inOrder()
{
inOrder(mRoot);
}
/*
* 后序遍历"Huffman树"
*/
template <class T>
void Huffman<T>::postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const
{
if(tree != NULL)
{
postOrder(tree->left);
postOrder(tree->right);
cout<< tree->key << " " ;
}
}
template <class T>
void Huffman<T>::postOrder()
{
postOrder(mRoot);
}
/*
* 创建Huffman树
*
* 参数说明：
* a 权值数组
* size 数组大小
*
* 返回值：
* Huffman树的根节点
*/
template <class T>
void Huffman<T>::create(T a[], int size)
{
int i;
HuffmanNode<T> *left, *right, *parent;
MinHeap<T> *heap = new MinHeap<T>();
// 建立数组a对应的最小堆
heap->create(a, size);
for(i=0; i<size-1; i++)
{
left = heap->dumpFromMinimum(); // 最小节点是左孩子
right = heap->dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子
// 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
// parent的大小是左右孩子之和
parent = new HuffmanNode<T>(left->key+right->key, left, right, NULL);
left->parent = parent;
right->parent = parent;
// 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
if (heap->copyOf(parent)!=0)
{
cout << "插入失败!" << endl << "结束程序" << endl;
destroy(parent);
parent = NULL;
break;
}
}
mRoot = parent;
// 销毁最小堆
heap->destroy();
delete heap;
}
/*
* 销毁Huffman树
*/
template <class T>
void Huffman<T>::destroy(HuffmanNode<T>* &tree)
{
if (tree==NULL)
return ;
if (tree->left != NULL)
return destroy(tree->left);
if (tree->right != NULL)
return destroy(tree->right);
delete tree;
tree=NULL;
}
template <class T>
void Huffman<T>::destroy()
{
destroy(mRoot);
}
/*
* 打印"Huffman树"
*
* key -- 节点的键值
* direction -- 0，表示该节点是根节点;
* -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
* 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
*/
template <class T>
void Huffman<T>::print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction)
{
if(tree != NULL)
{
if(direction==0) // tree是根节点
cout << setw(2) << tree->key << " is root" << endl;
else // tree是分支节点
cout << setw(2) << tree->key << " is " << setw(2) << key << "'s " << setw(12) << (direction==1?"right child" : "left child") << endl;
print(tree->left, tree->key, -1);
print(tree->right,tree->key, 1);
}
}
template <class T>
void Huffman<T>::print()
{
if (mRoot != NULL)
print(mRoot, mRoot->key, 0);
}
#endif
测试程序
/**
* Huffman树测试程序
*
* @author skywang
* @date 2014/03/25
*/
#include <iostream>
#include "Huffman.h"
using namespace std;
int main()
{
int a[]= {5,6,8,7,15};
int i, ilen = sizeof(a) / (sizeof(a[0])) ;
Huffman<int>* tree=new Huffman<int>();
cout << "== 添加数组: ";
for(i=0; i<ilen; i++)
cout << a[i] <<" ";
tree->create(a, ilen);
cout << "\n== 前序遍历: ";
tree->preOrder();
cout << "\n== 中序遍历: ";
tree->inOrder();
cout << "\n== 后序遍历: ";
tree->postOrder();
cout << endl;
cout << "== 树的详细信息: " << endl;
tree->print();
// 销毁二叉树
tree->destroy();
system("pause");
return 0;
}
效果如下
